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从牛顿定律到爱因斯坦相对论(5)

(2004年06月18日 17:46:42)

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从牛顿定律到爱因斯坦相对论

第五章 钟和尺的相对与绝对

牛顿时空观中的时和空


  对上章最后的相对与绝对的分类表,我们还可以逐步加以补充。在牛顿时空观里,还有两个绝对的概念,即时间的间隔和尺的长度。
  一个人看到自己的手表走过一分钟,往往以为世界上所有的钟和表也都同样地走过一分钟,而不管是在哪一种运动状态的钟。这就是时间间隔的绝对性。 类似地,一把直尺的长度,如果从某一个参考系测量它是一尺。那么,从任何参考系来测量它,它仍旧是一尺。这就是尺长的绝对性。
  时间间隔和尺长这两种绝对性,在牛顿时空观里是两个重要的角色,但在相对论中却都变成相对的了。

运动钟的变慢


  
  前面已经说过,凡是能测量时间的工具,都是一种“钟”。利用光速不变性,我们也可以设计一种雷达钟。它的结构如图5-l。其中有一部雷达和一块反射扳,板与雷达天线之间的距离是d。雷达发出的信号,受到板的反射后,可以再被雷达接收到。一个来回的距离是2d,如果信号速度是C,那么一个来回所用掉的时间就是T=2d/c。
  

  怎样用雷达钟来测量时间呢?如果一个过程从开始到结束,雷达信号来回走了五次,这个过程所需的时间就是5T。如果信号走了三个来回,所需时间就是3T。这就是说,以信号来回一次作为度量时间间隔的单位。
  

  有甲、乙两个人,他们各自有一个雷达钟。在甲乙两人相对静止时,校准两个钟,使它们走得同样快慢。然后,让甲乙两人作相对运动。甲和甲钟向左,乙和乙钟向右。甲、乙各自会看到什么现象呢?
  
  先来谈谈甲。站在甲的立场上,甲是静止的,甲钟相对于他也是静止的。他看到自己的钟仍与以前一样。没有变化(象萨尔维阿蒂大船中的其它东西一样)。这时,甲看到乙和乙钟正向右运动。在乙钟的发射-反射-接受的过程中,天线和反射板都不断地在运动,信号走的是斜线(见图5-2(A))。因此,在甲看来,乙钟信号一个来回走的距离大于Zd。可是,由于光速不变,无论甲钟或乙钟二者信号速度都是C。所以,甲看到的现象是:当甲钟走过一个单位时间时,乙钟还没有来得及走完一个来回。甲的结论是:乙钟比我的钟慢了。
  
  相反,如果站在乙的立场,一切又都反过来了。乙认为自己是静止的,而甲钟向左边(见图5-2(B))。乙钟信号一个来回走的距离是2d,而甲钟信号走的是斜线,一个来回走的距离大于2d。因此,乙的结论是:甲钟比我的钟慢了。
  
  甲和乙到底谁对呢?都对。他们的结论表面上相反其实并不矛盾。是一致的。这个结论就是:运动的钟要变慢。在甲看来乙在运动,在乙看来甲在运动。所以。他们都是看到对方的钟变慢了。
  
  有人一定会不相信这个结论的普遍性。他们认为,毛病是出在用了雷达钟。他们以为总能找到一种“好”钟,无论甲乙之间有没有相对运动.它们总是走得一样快慢。其实,如果真有这种“好”钟存在,那么,萨尔维阿蒂大船中就要乱糟糟了。
  
  那时,摆在大船里的有”好”“坏”两种钟,当大船静止时,它们走得同样快慢。而当大船运动起来时,就会有的快有的慢。果真如此,我们就可以根据这两种钟的差异来判断萨尔维阿蒂的大船到底是静止还是运动了。所以,如果假定有所谓‘好”“坏”两种钟存在,就必定同相对性原理矛盾。相反,如果相对性原理是真理,那么,只要一种钟变慢了,其它一切与它一起运动的钟也都同样要变慢。
  
  总之,在甲看来,当乙运动时,不仅乙的雷达钟,而且有关乙的一切能描述时间流逝的过程,比如生物的新陈代谢,放射性元素的衰变以及动物的寿命等等.都完全一致地变慢了。时间的流逝不是绝对的,运动将改变时间的进程。
  

μ子的寿命


  
  寿命也是一种”钟”。我们平常说一代人的时间,就是在用寿命来度量时间。所以,寿命也不是绝对的。同一东西的寿命,在不同参考系看来,应是不同的。事情的确如此。
  
  有一种粒子,叫做严子。它是不稳定的,而且寿命很短,从产生到衰变,只有大约百万分之二秒(2x10^-6秒)。这样,即使井子以光速运动,也只能走过2x10^-6xc≈600米的里离。可是。宇宙线的观测证明。在高空中产生的严子也能达到地面。它们走的距离远远大于600米,这是为什么?利用运动钟变慢的道理,不难解开这个谜。
  
  因为,在高速运动中,寿命一钟”象其它的钟一样,也要延缓。因此,高速运动的μ子寿命远比2x1O^-6 秒要长,它的飞行距离可以远远超过600米。
  

  图5-3表示物体运动的速度与时间延缓之间的关系。横轴是物体的运动速度,纵轴表示当运动钟走过一秒时,静止的钟走过了多少。例如,对于以0.6c速度运动的钟,它的钟走过1秒时,静止钟已走过了1.25秒。从图中可以清楚地看到,只有当运动速度非常接近光速时,静止者看到的运动者的寿命延长效应才会变得很大。当速度接近光速时,静止者看到运动者的寿命趋向无限大。光速又是一个极限。
  

双生子佯谬


  
  人,同μ子一样,寿命也是有限的。最多算是 100年吧!如果不考虑运动钟的变慢,就是乘光速火箭,人生旅程的界限也不超过100光年,永远到不了遥远的恒星或其它星系。但实际上,地面上的人将看到光速火箭中乘客的寿命大大延长了,从而他们的旅程可以大大超过100光年。相反,火箭上的乘客也看到地球以高速远离火箭而去。因之,在他看来,地球上的人寿命也长了。当地球与火箭的距离超过100光年时,地球上的弟兄们还活着。
  
  这里碰到一个难题。
  
  我们设想甲、乙是一对孪生弟旯。他们计划做一次高速飞船旅行,来检验一下狭义相对论。甲留在发射基地,乙周游天外。当飞船再度回到基地时,是甲比乙年轻,还是乙比甲年轻?这里有两种答案:(1),甲看乙船上的钟变慢了,所以,甲说乙年轻些;(2),乙看基地上的钟变慢了,所以,乙说甲应该比他更年轻一些。在这个两难的境地。运动钟变慢的结论,到底应当怎么办?这是个有名的疑难,叫做“双生子佯谬”。
  
  问题的关键是乙要回到出发点。倘使乙的飞船仅仅作匀速直线运动,是办不到这一点的。乙的飞行路线必然是有来有去,或者是转一个圈子。因此,在甲看来,乙是在做有速度变化的运动,当然。在乙看来,甲相对于他也在做变速运动。
  
  按照运动钟变慢的理论,甲看乙钟变慢,乙看甲钟变慢这种对称性,只有当甲和乙的相对运动速度不变时,才能保持。或者说,只有互相作匀速直线运动的两个惯性参考系,互相之间才是等价的。一旦出现了变速的相对运动,就不能使用这种对称性了。
  
  不要忘记,甲和乙都生活在宇宙间。他们周围还有大量天体。因此,双生子问题中有三个因素:甲、乙和他们周围的宇宙,如果甲留在基地上,他相对于大量天体并没有做变速运动。在甲看来,只有乙在做变速运动。在乙看来,情况与甲不同。他不但看到甲在做变速运动而且整个宇宙都在做变速运动。一边是整个周围的宇宙,一边只是一个飞船,这是明显的不对称性。所以由对称性引起的两难是不存在的。那么,到底谁年轻呢?1966年,真的做了一次双生子旅游实验,用来判断到底那个寿命长,同时也一劳永逸地结束了纯理论的争论。不过旅游的不是人,仍然是μ子。旅途也不在天外,而是一个直径大约为十四米的圆环。μ子从一点出发沿着圆轨道运动再回到出发点,这同乙的旅行方式是一样的。实验的结果是,旅行后的μ子的确比未经旅行的同类年轻了。我们似乎可以这样作结论了:谁相对于整个宇宙做更多的变速运动,谁就会活得更长久。动尺的缩短现在转到尺长的相对性上。 1893年,为了解释麦克尔逊一莫雷实验,斐兹杰诺和洛仑兹先后都提出过一种假说,即一切物体都要在它的运动方向上收缩。后来就称为洛仑兹-斐兹杰诺收缩。按照斐兹杰诺所给出的定量关系,以每秒11公里速度飞行的火箭,在运动方向只收缩十亿分之二左右。但是,在高速运动时,尺的收缩量很可观。图5-5表示一把1米长的尺在运动过程中长度的变化。当速度达到光速的一半时,收缩百分之十五。当速度达到每秒26万公里时,收缩百分之五十,也就是说原来1米长的尺,现在只有五十厘米了。
  

  在狭义相对论中,尺长也是相对的(决定于参考系)。尺长的变化方式和当初洛仑兹-斐兹杰诺所假定的完全一样。这里要多加一点说明的是,如何测量长度?一把尺子如果相对于某个参考系是静止的,那么,从尺两端空间坐标的差,就可得到尺的长度。
  
  当尺相对于参考系运动时,我们可以按如下办法测量尺长。在给定时刻由两个人同时进行拍照,一个拍摄运动尺的前端,一个拍摄后端。由于照片是同时拍摄的,所以比较两张照片上空间坐标的差,就可以得到运动尺的长度。注意,这里关键的字是“同时进行拍照”。我们知道,在相对论时空观中,“同时”是相对的,是与参考系的选择有关的。因此,对不同参考系来说,要按照各自的“同时”进行拍照,由此导致测量结果不同,是不难想到的。
  
  尺缩也和钟慢一样,是对称的。即,如果甲、乙之间有相对运动,那么,甲看乙的尺缩短了,乙看甲的尺缩短了。这个结论表示空间的大小并不是绝对的,而是相对的。
  

汤普金斯先生的错误


  
  汤普金斯先生是《物理世界奇遇记》里的主人翁。那本书的作者盖莫夫说,汤普金斯先生来到一座奇异的城市,由于在这城市里极限速度(相应于真实世界中的光速)异乎寻常地小,因此,他很容易看到各种相对论效应。汤普金斯先生说,当他以高速骑自行车时,他发现这个城市都变成了图5-6的样子。
  

  汤普金斯的所见所闻,几十年来被物理学家认为是正确的。大家相信,只要我们能以接近光速的速度运动,那么,我们也会象汤普金斯那样,看到一个扁的世界。由动尺缩短这个相对论效应,似乎很自然得到这个结论。
  
  然而,它是错误的。运动尺的缩短,并不能证明汤普金斯先生将看到一个变扁的世界。关键在于尺缩是根据“同时进行拍照”而得到的。汤普金斯先生的“看”,恰恰不符合这个要求。因为当眼睛“看”到一个物体时,意味着物体各部分发射的光子同时到达眼睛。形成了像。这样,这些光子就不可能是在同一时刻发射出来的,因为物体距眼睛的距离不同。离开观察者较远的点,必定有较早的发射时刻。近的点。则有较迟的发射时刻。这就同尺长测量中要求的“同时”是矛盾的。
  
  因此,我们根本看不到汤普金斯先生所说的那种景象。到底会看到怎样的景象呢?
  
  我们来考虑一个边长为1尺的立方体。当这个立方体静止时,有一个在垂直于bC方向距立方体较远的观测者,他只能看到立方体的一个面bC。a点发出的光线他是看不见的(见图5-(7))。当立方体沿着bC方向以高速v运动时,沿着运动方向的。C发生收缩,它的长度变成 sqrt(1-v^2/c^2)(见图5-7(B))。同时,现在观察者已可以接收到从a点发射的光线。由于从a点发出的光与bC两点发出的光是同时到达观测者的眼睛,所以观察者看到a点发出的光必定比bC边发出光的发射时间早1/C秒。但在1/c秒的时间内,立方体已向前运动了v/c的距离。所以,现在观测者已可看到立方体的ab边。总起来,相当于观测者看到了一个转动了的立方体。转动角度为θ=arcsin(v/c)(参见图5-7(C))。
  

  从这个例子看到,尺缩效应并非使我们看到的东西变扁了,而却是转动了。可以一般地证明,对于任何形状的物体,当它以速度v运动时,物体的形象,在观测者“看”来,只是相对于它静止时的形状略有转动,而并不是压扁了!
  

洛仑兹变换


  
  上面的一系列讨论涉及到相对论的许多方面,但是它们有一个共同的问题,即我们总是需要从两个不同的参考系来考虑同一事件的地点和时间。不论是对于同时性的问题。还是尺缩、钟慢问题,我们都是既要弄清一个事件相对于参考系K的时间和地点,又要知道它相对于另一个参考系K’中的时间和地点,而K和K’之间有相对的匀速运动。因此,这些问题的实质就在于我们需要找到各个事件相对于参考系K的时间和空间坐标,与相对于另一个参考系K’的时间和空间坐标之间的关系。
  

  倘若一个事件相对于参考系K的空间位置是x,y,z,时间坐标是t。则同一个事件相对于另一个参考系K’的空间坐标 x',y',z'和时间坐标t’应是多少?为了简单起见,我们假定 K’与K仅仅在沿着x轴的方向有相对运动,运动速度为v (见图5-8)。根据光速不变原理和相对性原理,就可以得到(x,y,z)与(x',y',z')这两组坐标之间的变换关系,它是
  

  这就是著名的洛仑兹变换。
  
  洛仑兹变换公式是狭义相对论运动学的核心。利用它可以自然地导出前面讨论过的各种相对论效应的定量关系。例如,一把静止时长度为L0的尺子,当它相对于观察者以速度v运动时,其长度就成为 L= L0·sqrt(1-v^2/c^2)。同样,当一个以速度v相对于观测者运动的钟经过了Δt'时,静止的钟所指示的时间为Δt=Δt'/sqrt(1-v^2/c^2)。图5-3和图5-4就是根据这些公式绘制出来的。
  
  对于洛仑兹变换,我们再说几句。在通常的条件下,物体的运动速度总是远小于光速的。因此,如果我们把光速C看成一个无穷大,则上述公式就变成
  

  这组关系通常称作伽利略变换。它是牛顿力学时空观的基矗利用伽利略变换立即可以推出时间间隔和物体长度的绝对性,而t'=t就意味着同时性是绝对的。伽利略变换公式只是洛仑兹变换公式的一个近似。洛仑兹变换公式适用于更为广泛的范围。这也就是说,比起牛顿力学来,狭义相对论是对于自然界的更加正确的描写。



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